曲面的法向量如何判定是内法线还是外法线

我们都知道平面的法线方向，也就是总有一组空间中平行的直线和指定的平面垂直，这些平行的直线的方向向量就是这个平面的法向量。即 是直线的方向向量，且 ，则称是平面的法向量，这个法向量的方向就是平面 的法线方向。对于曲面来说，光滑曲面在某点处都有一个切平面，切平面的法向量的方向就是曲面在一点处的法线方向。

而正方向是相对的，如果曲面用的是方程来描述的，那么这里的曲面是不需要确定正方向的。好比平面曲线一般不具体指出其正方向那样。确定方向的曲面一定是参数方程确定的曲面。我们知道，方程表示了一个以为参数的曲线，随着的增大，点沿着这个曲线移动，某点处的运动方向就是曲线在该点处的正切线方向，也就是在点 处，正切线方向是的方向。那么曲面呢？曲面的参数方程都带有两个参数，即，如果我们固定一个参数，那么就会得到一个曲线，随着另一个参数增大时的方向就是这个曲线的正方向，而曲面的正方向也就是这样的两个曲线的正方向的矢量积方向。文字说明不太容易看懂，这里用数学语言说明，就是曲面的正方向是矢量的方向，因此也就是说，它取决于如何选定两个参数的次序。